الرياضيات : مدخل عام

 

الرياضيات علم تراكمي البنيان:

الرياضيات علم تراكمي البنيان (المعرفة التالية تعتمد على معرفة سابقة )..يتعامل مع العقل البشري بصورة مباشرة وغير مباشرة.. و يتكون من: أسس ومفاهيم – قواعد ونظريات – عمليات –حل مسائل (حل مشكلات ) وبرهان.. ويتعامل مع الأرقام والرموز .. ويعتبر رياضة للعقل البشري .. حيث تتم المعرفة فيه وفقا لاقتناع منطقي للعقل… يتم قبل أو بعد حفظ القاعدة ويقاس تمكن الدارس من علم الرياضيات بقدرته ونجاحه في حل المسألة (المشكلة) وتقديم البرهان المناسب.

التكامل بين الرياضيات والعلوم الأخرى:

إن بناء منهج للرياضيات بمعزل عن المنهج المدرسي قد يوافق بنية الرياضيات ذاتها، ويوافق فئة من المتعلمين من ذوى الذكاء العالي، لأنهم وحدهم الذين قد يستطيعون ربط الرياضيات بغيرها من العلوم والمعارف الأخرى، وأكدت العديد من المؤسسات والمجالس العالمية، ومنها:

• National Council of Teachers of Mathematics (NCTM),
• (Mathematics Science Education Board (MSEB),
• School science and Mathematics Association (SSMA),
• The American Academy of Arts & Science (AAAS)
• …….
  

أهمية التكامل بين المواد الدراسية وبخاصة الرياضيات وفروع المعرفة الأخرى.

المقصود بالتكامل:

إذا كان للرياضيات علاقة كبيرة بالعلوم الأخرى، سواءا كانت علوما طبيعية كالفيزياء، والكيمياء، والأحياء، والهندسة، … الخ، أم كانت علوما اجتماعية كالسياسة والعلوم التربوية والقضائية … الخ، فإن ذلك يؤكد على تكاملها مع هذه المواد، علما بأن تكامل فروعها أمر ينبغي أن يكون محسوما. والتكامل نظام يؤكد على دراسة المواد دراسة متصلة ببعضها لإبراز علاقات، واستغلال هذه العلاقات لزيادة الوضوح والفهم، وهو يعد خطوة وسطى بين انفصال هذه المواد وإدماجها إدماجا تاما.

الرياضيات والذكاء:

هناك ظاهرة غريبة نلاحظها في سير العباقرة والمخترعين؛ فمعظمهم لم يبد تفوقا دراسيا ملحوظا في سن الطفولة.. بل إن كثيرا منهم كان نموذجا للتخلف والبلادة؛ فانشتاين كان فاشلا في الرياضيات، وأديسون طرد من المدرسة (بحجة أنه غير قابل للتعلم) وفارادي (مخترع المولد الكهربائي) لم يستطع تجاوز المرحلة الابتدائية، ونيوتن كان يفضل مطاردة البط وصيد الأرانب.. وفي المقابل: كم مرة قرأت، أو سمعت عن أطفال أبدوا ذكاء خارقا لدرجة أنهم دخلوا الجامعة في سن العاشرة أو الحادية عشرة.. ثم كم مرة سمعت عنهم بعد ذلك!؟

فبين « المليون » قد يظهر طفل خارق الذكاء لدرجة لا تصدق، ولكنه بصورة عجيبة يموت في سن مبكرة ـ وإن عاش لا تستمر عبقريته بنفس التوهج ولا تعطي المتوقع منها.

معظم الحالات تبدو كـ (طفرة ذكاء) سرعان ما تعود إلى نصابها الطبيعي.. معظم الحالات تثبت (ظاهرة بيولوجية ونفسية) وليس وعدا بظهور العبقرية!!

ويعد الفرنسي جان لويس (1719ـ 1726) الأكثر شهرة في هذا المجال. ففي سن الرابعة كان يقرأ باللاتينية والفرنسية والإنجليزية، وفي سن السادسة كان يستطيع المناظرة في التاريخ والسياسة والقانون. ورغم ذلك ليس في تاريخه إنجاز يذكر.. فقد توفي في سن السابعة!!

* أما ويليام جيمس سيدس فحالة تربوية فريدة؛ فقد كان أبوه أستاذا لعلم النفس في جامعة هارفارد. وكان يحاول اثبات أن الأطفال يمكن أن يصبحوا عباقرة إذا ما تلقوا تعليماً مميزا.. وفعلا ما إن بلغ ويليام السنة الثانية حتى كان قادرا على القراءة، وفي سن الثامنة تخرج من الثانوية، ثم أتقن بنفسه سبع لغات، وفي الحادية عشرة ألقى محاضرة في المجمسمات أمام جمعية هارفارد لعلماء الرياضيات، ولكنه في سن الثالثة عشرة.. توفي!

* أما الكوري كيم اونغ يونغ (1963م) فحاصل ذكائه زاد عن 200درجة ولم يتجاوز بعد سن العاشرة (وللمقارنة يوصف الحاصل على درجة 140بالعبقرية).. ومثل بقية الزملاء اتقن كيم أربع لغات في سن الرابعة، وفي الخامسة عرض التلفزيون الياباني مقدرته على حل مسائل معقدة في الرياضيات.. ولكن في سن المراهقة سافر إلى ألمانيا واختفى هناك!!!!

* أما الهولندي وليم كلاين فقد استطاع عام 1981م أن يستخرج الجذر التربيعي الثالث لرقم مؤلف من مائة خانة في دقيقة وتسع وعشرين ثانية ـ وأجريت هذه التجربة الخارقة في مختبرات الفيزياء العالمية في تسوكوبا باليابان.. ولكن ماذا بعد!؟.. ها هو اليوم يعيش مثل أي أب عادي!!

* أما الطفل الفرنسي موريس واغبرت فقد ظهر في برنامج يعده التلفزيون الفرنسي (في 14ايلول 1976م) وأجاب فيه على مسائل عويصة قدمها جهابذة الرياضيات. وكان باستطاعته حل المسائل الحسابية بسرعة تفوق الكمبيوتر الموجود في الاستديو. ولكنه اليوم ليس أكثر من معلم متواضع في مدرسة ابتدائية!!

.. هذه مجرد نماذج لطفرات طفولية خارقة انتهت للاشيء.. فرغم الانطلاقة القوية والبداية المبشرة إلاّ أن أيا منهم لم يحقق إنجازات مميزة في دنيا العلم والاختراع.. وبناءً عليه لا تسعد كثيرا أن أبدى طفلك مواهب خارقة في الصغر أو حقق درجة فريدة في سلم الذكاء.. أما إن حقق نتائج متأخرة في الدراسة وتخلف عن بقية الصف فهذا يعني شيئا من اثنين:

إما أنه عبقري لم يتواءم مع المناهج التقليدية أو « حمار » فشل في الارتفاع لمستواها!

فوائد الرياضيات:

مما لا شك فيه أن الرياضيات بفروعها المختلفة قد ساعدت الإنسان منذ القدم وحتى وقتنا ‏الحاضر في دراسة وتحليل العلاقات بين الظواهر الطبيعية المختلفة وبالتالي في التعرف على ‏بعض القوانين التي تحكم الكون المليء بالأسرار التي يكشفه التقدم العلمي من وقت إلى آخر ‏ولذلك نستطيع أن نقرر أن الأساليب الرياضية كانت ولا تزال الدعامة الأساسية التي يقوم ‏عليها تطور وتقدم العلوم الطبيعية المختلفة. وأن الحضارات المختلفة ارتبطت إلى حد كبير ‏بتقدم هذه الأساليب وظهور عباقرة هذا العلم مثل شيخ الرياضيين العرب ( الخوارزمي ) ‏وباسكال وليبنتزونيوتن مؤسس الرياضيات الحديثة في عصر النهضة وأينشتاين رائد عصر ‏الذرة والفضاء الذي نعيش فيه .

 

‏ونشاهد في الوقت الحاضر تطورا » هائلا » في العلوم والاقتصاد وإدارة الأعمال والمحاسبة ‏والحاسب الآلي وما تلى ذلك من تطور هائل واستخدام الأساليب الرياضية الحديثة التي ‏اعتمدت على البرامج الخطية وبحوث العمليات والتي تعتمد بدورها على المحددات ‏والمصفوفات والاحتمالات والتي ساعدت الإنسان في الكشف عن كثير من الغوا مض في ‏مختلف المجالات العلمية. ‏

ويتعرض الأساتذة لأسئلة من أبنائهم التلاميذ حول فوائد الرياضيات في الحياة والإجابة عليهم ‏بان البناء العلمي عبارة عن لبنات متراكمة فوق بعضها بشكل منظم ودقيق وكل علم وكل ‏مكتشف يضيف لبنة جديدة لهذا البناء فإذا أردت أخي الطالب أن تصبح مهندسا » مثلا » لابد أن ‏تمتلك المعرفة الكافية في الرياضيات والتي تعتمد على حساب الكميات ومراكز الثقل والقوى ‏المؤثرة ، وإذا أردت أن تصبح مساحا » مدنيا » أو عسكريا » لابد من امتلاكك لقدر كاف لأحد ‏جوانب مادة الرياضيات وإذا أردت أن تتخصص في أي من المواد المواد العلمية الجامعية لابد ‏أن يكون لديك محصلة جيدة من الرياضيات بمثابة جواز سفر تعبر به إلى العلوم الأخرى ‏والى تسلق مراتب الشهادات العلمية العالية إلى أن تصبح عالما « أو مكتشفا » ، كذلك أخي ‏الطالب هناك فوائد للرياضيات في حياتنا والتي تسمى بالرياضيات العملية مثل الرياضيات ‏التجارية وهي كل ما يتعلق بالعمليات الحسابية التي تجري في المحاسبة والإحصاء كذلك ‏الحاسب الآلي الذي هو ثمرة من ثمرات علم الرياضيات وكذلك الحال بالنسبة للإحصاء الذي ‏تعتمد عليه الدول المتقدمة في تأمين حاجات المجتمع وترعى حاضره ومستقبله من خلال ‏الأعداد المتزايدة والمتغيرة في أعداد السكان والمواشي والمواد التموينية و… و … الخ.‏

ناهيك عزيزي التلميذ عن أن الرياضيات تهذب العقل وتدربه وتجعله قادراً « على التفكير السليم ‏لان العقل السليم في الجسم السليم » كما هو الحال في الرياضة التي تدرب أعضاء الجسم ‏المختلفة وتجعله قادراً « على أداء كل المهمات بلياقة عالية ومهارة كبيرة بعيداً » عن الكسل ‏والملل والانحطاط الجسمي. ‏

  اكتساب البرهان

يتطلب تعلم منهج الاستدلال التمرن على تحديد المعطيات والمعارف والمهارات الأساسية والحرص على تسلسل الأفكار أثناء صياغة التعليلات والتحقق من صحة النتائج المحصلة من خلال سحبها على نفس الوضعية أو على وضعيات مماثلة.

 

• أولا: القراءة والتمحيص في نص الوضعية المطروحة.
• ثانيا: استخراج المعطيات الصريحة والضمنية.
• ثالثا: الربط بين المعطيات والمفاهيم أي الربط بين مضمون الوضعية والتعاريف والخاصيات.
• رابعا: صياغة التبريرات والدلائل.
• خامسا: التحقق من مدى ملاءمة النتائج المتوصل إليها مع معطيات الوضعية.

مكانة الاستدلال في الرياضيات

يبدو في ثقافة الممارسين للرياضيات، وخصوصا المبتدئين منهم، أن الحساب والاستدلال متباعدان، ويعزى هذا الأمر إلى الطابع الميكانيكي والتقني الصرف الذي يتمظهر به الحساب حين التطبيق الآلي للخوارزميات سيما وأن الاقتصار في التعلم يكون على التدريب التكراري في وضعيات نمطيةوالواقع أن الجوانب الرفيعة في الحساب تتجلى على الخصوص ضمن الاستدلال كلما تعلق الأمر بمعالجة مسائل هندسية حول حساب الأطوال والزوايا والمساحات والحجوم كما أن عدم التوفر على الأدوات الأكثر نجاعة هو ما يدفع إلى تلمس الطريق وملاحظة العلاقات والخصائص.

ومما لاشك فيه أن للاستدلال دورا بارزا في التعامل مع المسائل والقضايا الهندسية خصوصا منها التي لا تعتمد على الحساب وبالمقابل فإن للحساب العددي والجبري أيضا دورا مهما بل وأساسيا في البرهان والاستدلال في أغلب المسائل والممارسات الرياضية، إلا أن طبيعة الأنشطة التعليمية هي التي تحجب هذا الدور ما دامت هذه الأنشطة ترتكز في أغلبيتها على الطابع التقني الصرف المتمثل في إنجاز العمليات بإتباع قواعد الحساب المألوف أما الدور الذي يضطلع به الحساب الذهني والسريع فلا يخفى على أحد، إذ يتم إبراز الترابط والتعالق بين الحسا ب والاستدلال منذ المراحل الأولى لتعلم الرياضيات. إن ممارسة التلميذ للحساب الذهني والسريع، تجعله يقوم بعمليات ذهنية واستدلالية أكيدة حيث بتم الربط بين مفهوم العدد وخاصيات الأعداد والعمليات.وفيما يتعلق بالحساب الجبري فإنه يمثل بامتياز أهم المناسبات لممارسة الاستدلال. فمن خلاله يتمكن المتعلم من تفسيرالنتائج والخلاصات عن طريق الاشتغال على تعابير حرفية وصياغة معادلات أو قوانين أو قواعد.

إن الحساب الجبري يمثل أداة أساسية في البرهان ويتجاوز إنجاز الخوارزميات التي تقترح مهاما روتينية بل يجعل الحساب العددي مجالا لاشتغاله (فمثلا إثبات المتساوية البسيطة يستند إلى ذكاء في التعامل مع الصيغ والقواعد المعروفة) كما أن الحساب الجبري يدفع بالضرورة إلى اللجوء إلى كل أدوات وأساليب الاستدلال والبرهان.

الهندسة والاستدلال

تعتبر الهندسة الميدان الخصب وحقل اشتغال الاستدلال بشقيه الاستقرائي والاستنتاجي على اعتبار أن الممارسة تتوسل الربط بين الأشكال الهندسية وبين عناصرها وخاصيات هذه المكونات. ويرتكز الاستدلال في الهندسة على خطوات أساسية تنطلق من الملاحظة باعتبار الرسوت والأشكال الهندسية والمبيانية التي تشكل سندا بصريا أكيدا لتجسيد الوضعيات قبل الشروع ومباشرة البحث. بعد الملاحظة تأتي مرحلة توليد التظننات، وهي محطة الفحص والتجريب وإعادة النظر في التخمينات والتقديرات والنقد الذاتي التي تمهد إلى التصديق والمصادقة.وتتم كل هذه العمليات عن طريق البرهان من خلال نسج الخيوط بين الحدس والتخيل واختيار أدوات الحجج والإقناع والاقتناع في كل الخطوات والمراحل والمحطات.

إن اكتساب كفاية الاستدلال لايتم عبر الاشتغال على مسائل هندسية تكون إجراءات البرهان فيها مختزلة وتوحي عناصرها المكونة بالتوجه مباشرة ودون كبير عناء إلى الخاصيات المطلوب اتباعها، وغالبا ما يكون هذا النوع من المسائل متضمنا لجميع المعطيات والفرضيات، متميزا بالتفصيل والتجزيء، وتطبعه البداهة، إنها مسائل تقترح أسئلة وسيطية غالبا ما تكون على شكل تعليمات واضحة .

الأمر الذي يحول التلميذ إلى منفذ لمهام محددة دون أن يعي المنطق الذي تحتكم إليه الوضعية المطروحة، ودون أن يكون له نصيب في اختيار أو ابتكار الأدوات والوسائل والأساليب الكفيلة بحل الوضعية، ودون أن ينمي قدرات البحث والاستقصاء ووضع مهاراته على المحك . مانود أن نشير إليه هنا هو طبيعة النشاط الرياضي الذي يرتبط ارتباطا وثيقا بممارسة البحث في: التعرف على المسألة وتظنن نتيجة- تجريب بعض الأمثلة، وإنشاء بعض الدلائل والحجج- رسم معالم وملامح شكل من الأشكال، مراقبة مدى صحة الخلاصات المحصل عليها وتقويم مدى صلاحيتها وملاءمتها مع المسألة .

وإذا كانت إقامة البرهان، في ممارسة الاستدلال، الوقفة الضرورية والهامة تضمن الصحة والثبات، فإنها ليست هي النشاط الوحيد لممارس الرياضيات، ذلك أنه يجب صياغة التظننات وتمحيصها وفحصها بكيفية منطقية نقدية ( طرح أمثلة مضادة، تبرير وإقناع ، إعادة النظر في المعطيات أهي كلها مفيدة؟ …..) إن هذه العمليات التي تسبق إقامة البرهان والتي لاغنا للممارس عنها، تشكل في تداخلها وترابطها وتجاذبها جوهر الممارسة في الرياضيات إن ما نذهب إليه هو أن المعرفة الرياضياتية لا تتمثل في تعاريف وقواعد وخاصيات متراكمة على شكل بنيات محكمة التنسيق.

مميزات البرهان:

ما يميز البرهان الرياضي الذي يضمن الحقيقة الرياضية لنتيجة ما أو صحة قضية من القضايا الرياضية، كونه:

• -لايتأثر بالانفعال والعاطفة أو الأهواء الشخصية والرأي الذاتي بل يقوم على حقائق وعلى التعبير والرِؤية وعدم الاندفاع .
• -لا يقبل رأيا دون إقامة الدليل على صحته.
• -يتمي المرونة ويلخص من الجمود.
• -ينمي القدرة على الدقة في التعبير والنهج السليم.
• -يبعد كل أشكال الارتجال والعشوائية.
• كما أن البرهان الرياضي يستند إلى أساليب التفكير المنهجي التي تكمن في:
• -تأمل وقراءة الموقف المطروح والتمحيص في عناصره ورسم تمثل له من أجل الفهم.
• -الامتناع عن إصدار أحكام حتى تكتمل الأدلة.
• -إدراك العلاقات بين العناصر المكونة للوضعية المطروحة وبين الأدوات الرياضياتية المعرفية.

الاستنباط والاستقراء والاستنتاج

الحدس وهو الخاص بالاكتشاف ويمر بدوره عبر :

 

• -مرحلة التحضير وهي خاصة بالملاحظة والتجريب.
• -مراحل المعالجة الرياضية والعمل المسترسل في البحث للتوصل إلى الحل .
• -مرحلة التخمين.
• -مرحلة تحقيق النتيجة عن طريق المنطق.
• -مرحلة التطبيق.